Jezyki

BINARNY	ÓSEMKOWY	DZIESIĘTNY	SZESNASTKOWY
‭010110101110‬	‭2656‬	‭1454‬	‭5AE‬
‭010011111101‬	2375	‭1277‬	‭4FD‬
‭000101110110‬	‭566‬	‭374‬	‭176‬
‭000101110100‬	‭564‬	‭372‬	‭174‬
‭010000100111‬	‭2047‬	‭1063‬	‭427‬
‭0100001010001001‬	‭41211‬	‭17033‬	‭4289‬
‭000111010110‬	726	‭470‬	‭1D6‬
‭01000110‬	106	‭70‬	‭46‬
‭000111011010‬	‭732‬	‭474‬	‭1DA‬

System ten składa się z dziesięciu cyfr takich jak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

Jeśli chcemy używając tego systemu zapisać jakąś liczbę musimy zrobić to w taki sposób, aby ani jedna z tych liczb nie była większa od 9. Chcąc zapisać w tym systemie liczbę 274 trzeba ją pierwsze rozpisać na

200 + 70 + 4. Pomimo takiego rozpisania i tak liczby 200 oraz 70 są za duże dla tego systemu, dlatego należy je zapisać jako potęgi liczby 10 w następujący sposób: 4*100 + 7*101 + 2*102.

W ten sposób możliwe jest w systemie 10 zapisanie liczby 274.

System ósemkowy

Jak sama nazwa wskazuje w systemie tym występuje tylko osiem cyfr i są to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz 7. Jego sposób działania podobny jest do systemu dziesiętnego wspomnianego wyżej. Po 0 jest 1, po 1 mamy 2, po 2 występuje 3, po 3 jest 4, po 4 mamy 5, po 5 natomiast 6, po 6 kolej na 7, ale po 7 jest już 10 - gdyby był to system dziesiętny byłoby to 8.

Chcąc w tym systemie zapisać liczbę 14 (jeśli w dziesiętnym to 12) należy rozpisać to następująco:

 

4*1 + 8*1 z czego otrzymamy 4 + 8 = 12. Jest to inaczej 4*80 + 1*81.

 

System binarny - dwójkowy

Z kolei ten system składa się tylko z dwóch cyfr - 0 i 1. Jego działanie jest identyczne jak wyżej wymienionych już dwóch systemów. Dla przykładu można wziąć z systemu dziesiętnego parę pierwszych liczb

i spróbować zamienić na system binarny, czyli dwójkowy. Liczba 0 jest pierwsza w systemie dziesiętnym

i znana także w systemie binarnym, podobna sytuacja dotyczy liczby 1, więc możemy i ją wykorzystać.

Jednak kolejna cyfra jaką jest 2 nie jest już rozpoznawalna w tym systemie, dlatego trzeba ją zamienić analogicznie do systemu ósemkowego, więc w systemie binarnym liczba 2 będzie miała postać - 10. Następne liczby, tj. 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 w systemie tym będą miały postać: 3-11, 4-100, 5-101, 6-110, 7-111, 8-1000 oraz

9-1001.

Bit - to pojęcie występujące także w tym systemie. Jest to najmniejsza jednostka informacji, która pozwala nam określić jeden z dwóch stanów, który przyjął dany układ oraz jednocześnie bit, oznaczany przez "b", jest najmniejszą jednostką jakiej używa się w informatyce.

System szesnastkowy

System szesnastkowy (inaczej heksadecymalny) jest szeroko używany w informatyce. Jego podstawą jest liczba 16 czyli do budowy liczb wykorzystujemy szesnaście cyfr. Pierwszych dziesięć jest takich samych jak w systemie dziesiętnym. Cyfra dziesięć to litera A, cyfra 11 to litera B, itd. :

$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$$

Dodatkową własnością jest to, że każdą cyfrę w tym systemie możemy przedstawić za pomocą dokładnie czterech cyfry zero-jedynkowych ponieważ:

$$16=2^4$$

Zamiana z dziesiętnego na szesnastkowy

System szesnastkowy posiada 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pierwsze 10 cyfr jest takie same jak w systemie dziesiętnym. Za kolejne 6 cyfr przyjęto pierwsze litery alfabetu. Litery te w zapisie liczby mogą być małe lub duże. Wartości tych cyfr to kolejno A=10, B=11, C= 12, D=13, E=14, F=15.

Wartość liczby szesnastkowej obliczamy ze wzoru:

 

W₁₆ = c_n-116^n-1 + c_n-216^n-2 + ... + c₂16² + c₁16 + c₀

c_i, i = 0,1,...,n-1 - kolejne cyfry szesnastkowe zapisu liczby

 

Przykład:

 

AFD3₁₆ = 10 × 16³ + 15 × 16² + 13 × 16 + 3
AFD3₁₆ = 10 × 4096 + 15 × 256 + 13 × 16 + 3
AFD3₁₆ = 40960 + 3840 + 208 + 3
AFD3₁₆ = 45011

 

To samo schematem Hornera:

 

W ← 10

W ← W × 16 + 15 = 160 + 15 = 175

W ← W × 16 + 13 = 2800 + 13 = 2813

W ← W × 16 + 3 = 45008 + 3 = 45011

 

Liczbę dziesiętną przeliczamy na 16 wg poznanego schematu:

 

Przykład:

 

Mamy znaleźć reprezentację liczby 99999 w systemie szesnastkowym.

99999	: 16 =	6249,	reszta 15 - cyfra F
6249	: 16 =	390,	reszta 9
390	: 16 =	24,	reszta 6
24	: 16 =	1.	reszta 8
1	: 16 =	0,	reszta 1

 99999 = 1869F₁₆

 

Liczby szesnastkowe również jest łatwo przeliczać na liczby dwójkowe. W tym przypadku każda cyfra szesnastkowa zastępuje cztery cyfry binarne - dzięki temu liczby szesnastkowe bardzo dobrze odwzorowują dane 8, 16, 32 bitowe. 

Przeliczanie liczby szesnastkowej na ósemkową polega na zamianie każdej cyfry szesnastkowej grupą 4 cyfr binarnych:

 

AF9D716 →	A	F	9	D	7
	1010	1111	1001	1101	0111	→101011111001110101112

 

W drugą stronę bity rozdzielamy poczynając od końca liczby na grupy 4 bitowe. Ostatnia grupa może być niepełna - dopełniamy ją bitami o wartości 0. Każdą grupę zastępujemy odpowiadającą im cyfrą szesnastkową:

 

 

11011111011111110001012 →	0011	0111	1101	1111	1100	0101
	3	7	D	F	C	5	→ 37DFC58